By Josef Trölß
ISBN-10: 3211767487
ISBN-13: 9783211767481
Das Buch richtet sich an Sch?ler, Studenten, Naturwissenschaftler sowie Anwender, die sich ?ber die Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier- und Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen und Differenzengleichungen informieren und die Vorz?ge von Mathcad nutzen m?chten. Es stellt die theoretischen Grundlagen zusammenfassend dar und bietet in der three. Auflage noch mehr Beispiele. Au?erdem wurde es entsprechend der Mathcad model 14 ?berarbeitet.
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3 5 7 © 1 ¹ © 2 4 6 ¹ 1 3 5 7 Durch gliedweises Ausmultiplizieren der linken Seite und anschließendem Koeffizientenvergleich entsprechender Potenzen mit der rechten Seite a1 a3 a1 a5 a3 a1 1 1 1 ; a5 ; a7 usw. a1 = 1 ; a3 = = = 2 2 4 2 4 6 3 5 7 erhalten wir schließlich die Reihe für tan(x). Sie konvergiert für |x| < S/2. 17: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = arctan(x)? Berechnen Sie näherungsweise die Zahl S. f ( x) = arctan ( x) x0 0 gegebene Funktion und Entwicklungsstelle Seite 37 Taylorreihen 3 5 x 7 x 9 x 11 x 13 x x p ( x) atan ( x) Reihen x = x0 14 o x 3 5 7 9 11 13 ∞ arctan ( x) = ¦ n 0 ª n x2n1 º «( 1) » 2 n 1¼ ¬ Taylorreihe für arctan(x).
Aus der Potenzreihe für die Ableitungsfunktion f '(x) soll dann die Reihenentwicklung für die Funktion f(x) berechnet werden. 1 2 f ' ( x) = 1 Die Ableitungsfunktion ist eine gebrochenrationale Funktion. x 2 Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s = f ' ( x) = 1 2 ∞ ¦ n ∞ n 0 §x· ¨ ¸ = © 2¹ 1 q (siehe dazu (1-45), Band 3) erhalten wir: n ¦ n a x n1 gesuchte Reihendarstellung für die Ableitungsfunktion 0 2 Seite 18 Potenzreihen Um die Reihe zu f(x) zu bestimmen, wird integriert: ´ x· µ § f ( x) = ln ¨ 1 ¸ = µ 2¹ µ © ∞ ¦ n 1 0 2 n µ ¶ ∞ n x dx = ´ µ µ µ 0 µ ¶ ¦ n ∞ n x n 1 dx = 2 n 1 x ¦ n 1 C 0 ( n 1) 2 n Um die Konstante zu bestimmen, wird x = 0 eingesetzt: Aus ln(1-0) = 0 folgt C = 0.
N fn x0 = f x0 = n an an = = fn x0 f n x0 n n 0 mit a0 = =f x 0 0 f x0 Ohne Beweis gelten folgende Sätze: a) Es sei f: [a,b] o eine beliebig oft differenzierbare Funktion, und es existiere ein M mit | f(n)(x) | dM für alle x [a,b] und n ². Dann gilt für eine beliebige Entwicklungsstelle x0 [a,b]: ∞ ¦ Die Taylorreihe f ( x) = º ª« f( n) x 0 n» « n x x0 » konvergiert für alle x [a,b] , und es ist ¬ ¼ n 0 ∞ º ª« f( n) x 0 n» « n x x0 » . ¬ ¼ ¦ n 0 (2-10) Sie kann auch als Summe von Taylorpolynom und Restglied geschrieben werden: n f ( x) = ¦ k 0 º ª« f( k) x 0 k» « k x x0 » Rn1( x) .
Angewandte Mathematik mit Mathcad. Lehr- und Arbeitsbuch: Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen, 3. Auflage by Josef Trölß
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4.4