New PDF release: Ungelöste und unlösbare Probleme der Geometrie

By Herbert Meschkowski

ISBN-10: 3322979733

ISBN-13: 9783322979735

ISBN-10: 3322985563

ISBN-13: 9783322985569

In einer Zeit, in der die mathematische Forschung standig neue Theorien entwickelt, erscheint der Hinweis nicht iiberfliissig, daB es auch am Rande der elementaren Geometrie noch ungeloste Probleme gibt. Wir denken dabei vor allem an solche Fragestellungen, die so einfach sind, daB sie auch einem interessierten Laien verstandlich gemacht werden konnen. Freilich, so ganz einfach sind nur die Fragestellungen. Die Losungsversuche, die gemacht worden sind, die Beweise, die in die Nahe der gestellten Probleme fUhren, erfordern zum Verstandnis doch einiges an mathematischer Bildung, etwa so viel, wie guy bei einem Studenten der mittleren Semester voraussetzen darf. Bei einigen beriihmten Problemen, die die Mathematiker jahrtausende lang beschaftigten, hat die Forschung in den letzten Jahrzehnten zu der Einsicht gefiihrt, daB sie unlosbar sind. Wir wollen auch einige solcher Fragestellungen in unsere Betrachtung einschlieBen. So stehen uralte klassische Probleme neben solchen, die bisher in der Buchliteratur gar nicht oder nur am Rand erwahnt wurden. Wir haben uns bemiiht, auch bei den klassischen seasoned blemen bekannte Methoden zu variieren oder die Fragestellung nach der einen oder andern Seite zu erweitern.

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Fur die FaIle n = 3, 4, 6 und 12 sind ebenso wie bei der Aufgabe (2) die Ecken eines der Kugel einbeschriebenen regularen Dreieckspolyeders das die Aufgabe losende Punktsystem. Wir werden im nachsten Kapitel sehen, daB fUr andere Zahlen n die Losungen der beiden Aufgaben keineswegs immer zusammenfallen. Fur manche Fragestellungen ist eine andere Fassung des Satzes 10 wichtig: Satz lOa: U nter n (n > 3) Punkten der Einheitskugel gibt es stets ein Punktepaar mit einem Abstand bn ::;: - V 4- .! (32) SIn WII Mit dem Abstand bn von zwei Kugelpunkten P und Q ist hier die Lange der Strecke PQ gemeint.

V - 3 V . Dabei ist V das Volumen des durch die Vektoren u, I;) und tt> bestimmten Spates, N(R) die Anzahl der ganz in der Kugel vom Radius R gelegenen Spate. Fur das extremale Kugelsystem {f*} ist aber das Volumen V = V* = 4 V2. Damit haben wir 51 Satz 13: Es sei (lui = 2, lui = 2, lrol = 2) das Gitter der Mittelpunkte eines Systems {f} von Einheitskugeln. Fur die Lagerungsdiehte eines solehen K ugelsystems gilt (3) Das Extremum wird erreieht fur eine gitterformige Anordnung (2) mit den Vektoren u= (2,0,0), u = (1, V3: 0), ro = (1, ~ V3, ~ V6).

Diese Raute setzt sich dann aus zwei gleichseitigen Dreiecken zusammen, und es mull deshalb die eine Diagonale (BC bzw. ED) der Raute noch eingezeichnet werden, um den Graphen vollstandig zu machen: Diese Diagonale verbindet ja die Punkte, die genau die Entfernung 2 r haben. Wenn wir in Abb. lle noch die Diagonale BC eintragen, gewinnen wir damit gerade die schematische Darstellung des schon in Abb. 10 in stereographischer Projektion dargestellten Graphen. In der Tat: An das gleichseitige Dreieck ABC lagern sich in beiden Fallen drei kongruente gleichseitige Dreiecke ABE, BCF und CAD an.

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Ungelöste und unlösbare Probleme der Geometrie by Herbert Meschkowski


by Jason
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