By Testard L.
Le yet de cette thèse est de fournir des moyens de calcul et de visualisation d'objets mathématiques issus de l'analyse complexe. Dans ce cadre, de nombreux problèmes d'origine mathématique empêchent d'utiliser les nombres complexes aussi naturellement que les nombres réels : indéterminations dans les calculs, nombre élevé de dimensions empêchant les méthodes naïves de visualisation, phénomènes multiformes. Au niveau calcul, quelques méthodes ont été étudiées, menant à los angeles définition d'un modèle de programmation permettant de gérer les indéterminations. Au niveau visualisation, des méthodes adaptées aux objets mathématiques complexes ont été mises au aspect, en particulier dans le cadre des ideas d'équations différentielles complexes. Toutes ces méthodes (calcul, visualisation) ont été implémentées sous forme de modules dans un environnement commun permettant le prototypage rapide d'expériences, axées notamment sur un couplage entre calcul et visualisation. Les différentes functions présentées dans le rfile (intégration numérique d'équations différentielles avec des fonctions multiformes, visualisation de options d'équations différentielles complexes, visualisation de l'erreur globale estimée pendant une intégration) y ont été intégrées.
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Extra info for Calculs et visualisation en nombres complexes
Example text
3 D
e nition Surface de Riemann associ
ee a une fonction La surface de Riemann associ
ee a la fonction f est l'ensemble Mf , muni de la topologie pr
ec
edente. On choisit les Ui comme des disques centr
es en des el
ements zi ; zi f . Les fonctions i sont d
e nies par 8 z; z f 2 Ui; i z; z f = Pzi z , zi o u Pzi est un repr
esentant de zi f . De nombreuses propri
et
es d
ecoulent de cette d
e nition de surface de Riemann associ
ee a une fonction. Dans le cas particulier des fonctions alg
ebriques, la surface de Riemann associ
ee est de genre ni FK80 .
Quelques renseignements int
eressants pourront ^etre tir
es de ce mode de repr
esentation : si nous consid
erons deux courbes issues de valeurs y0 tr es proches dans , et si nous a ectons a chacune de ces courbes une couleur identi ant la valeur de y0 dont elle est issue, nous pourrons rep
erer sur la surface trac
ee la position de chacune de ces courbes. En particulier, si une couleur semble ^etre concentr
ee sur une partie de la surface, cela signi era que des conditions initiales di erentes donneront sensiblement les m^emes r
esultats pendant l'int
egration, alors qu'au contraire une di usion de la couleur permettra d'identi er visuellement les zones sur o u l'
equation sera sensible aux conditions initiales.
En n, le volume de quadrangles et de segments a tracer peut ^etre facilement multipli
e par deux si nous voulons repr
esenter en plus de ces donn
ees d'autres donn
ees relatives a l'int
egration, telle qu'une estimation de l'erreur commise pendant celle-ci. 1 Passage des equations aux syst emes Un syst eme di erentiel d'ordre N dans le plan complexe est un syst eme de la forme 8 y10 = f1 x; y1; : : :; yN ... 9 : yN0 = fN x; y1; : : :; yN o u x 2 C , et y1; : : : ; yN sont N fonctions de la variable complexe.
Calculs et visualisation en nombres complexes by Testard L.
by Kenneth
4.4