Read e-book online Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB (Springer-Lehrbuch) PDF

By Alfio Quarteroni

ISBN-10: 3540250050

ISBN-13: 9783540250050

Aus den Rezensionen der englischen Auflage:

Dieses Lehrbuch ist eine Einführung in das Wissenschaftliche Rechnen und diskutiert Algorithmen und deren mathematischen Hintergrund. Angesprochen werden im element nichtlineare Gleichungen, Approximationsverfahren, numerische Integration und Differentiation, numerische Lineare Algebra, gewöhnliche Differentialgleichungen und Randwertprobleme. Zu den einzelnen Themen werden viele Beispiele und Übungsaufgaben sowie deren Lösung präsentiert, die durchweg in MATLAB formuliert sind. Der Leser findet daher nicht nur die graue Theorie sondern auch deren Umsetzung in numerischen, in MATLAB formulierten Code.

MATLAB decide on 2003, factor 2, p. 50.

[Die Autoren] haben ein ausgezeichnetes Werk vorgelegt, das MATLAB vorstellt und eine sehr nützliche Sammlung von MATLAB Funktionen für die Lösung fortgeschrittener mathematischer und naturwissenschaftlicher Probleme bietet. [...]

Die Präsentation des Stoffs ist durchgängig intestine und leicht verständlich und beinhaltet Lösungen für die Übungen am Ende jedes Kapitels. Als exzellenter Neuzugang für Universitätsbibliotheken- und Buchhandlungen wird dieses Buch sowohl beim Selbststudium als auch als Ergänzung zu anderen MATLAB-basierten Büchern von großem Nutzen sein. Alles in allem: Sehr empfehlenswert. Für Studenten im Erstsemester wie für Experten gleichermassen.

S.T. Karris, college of California, Berkeley, selection 2003.

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Mit x(0) = 1) gilt, erf¨ ullt der Grenzwert α die Gleichung cos(α) = α. Aus diesem Grund wird dieser Punkt Fixpunkt der Cosinusfunktion genannt. Das Interesse f¨ ur ein Verfahren, das Iterationen dieser Art ausn¨ utzt, ist klar: falls α ein Fixpunkt des Cosinus ist, dann ist dieser eine Nullstelle der Funktion f (x) = x − cos(x) und wir haben ein Verfahren erhalten, das die Berechnung der Nullstellen von f erm¨oglicht. 6). 5 2 Abb. 6. Die Funktion φ(x) = cos x besitzt einen Fixpunkt (links), w¨ ahrend die Funktion φ(x) = ex keinen hat (rechts) Funktion φ : [a, b] → R gegeben und finde α ∈ [a, b], so daß α = φ(α).

9) wobei x(0) ein Startwert ist. Dieser Algorithmus wird Fixpunktiteration genannt, φ Iterationsfunktion. Das Eingangsbeispiel ist also eine Fixpunktiteration, in dem φ(x) = cos(x). 7 links: falls φ eine stetige Funktion ist und der Grenzwert der Folge {x(k) } existiert, dann ist dieser Grenzwert ein Fixpunkt von φ. 2 pr¨ azisieren. 10) φ(x) = x − ′ f (x) angesehen werden. Von nun an werden wir diese Funktion mit dem Symbol ur Newton) bezeichnen. Das Bisektionsverfahren hingegen ist keine φN (N f¨ Fixpunktiteration, da die Iterierte x(k+1) nicht nur von x(k) , sondern auch angt.

Außerdem kann man zeigen, daß die Fixpunkte von φ∆ dieselben von φ sind. Das Aitken-Verfahren kann deshalb auf jedes beliebige Fixpunktverfahren angewandt werden. 1 Sei x(k) = φ(x(k−1) ) eine Fixpunktiteration mit φ(x) = x − f (x) zur Approximation der Wurzeln von f . Falls f gen¨ ugend glatt ist, gilt: - falls die Fixpunktiteration linear gegen eine einfache Wurzel von f konvergiert, dann konvergiert das Aitken-Verfahren quadratisch gegen dieselbe Nullstelle; - falls die Fixpunktiteration mit Ordnung p ≥ 2 gegen eine einfache Wurzel von f konvergiert, dann konvergiert das AitkenVerfahren mit Ordnung 2p − 1 gegen dieselbe Nullstelle; - falls die Fixpunktiteration linear gegen eine Wurzel von f mit einer Vielfachheit m ≥ 2 konvergiert, dann konvergiert das Aitken-Verfahren linear gegen dieselbe Nullstelle, und zwar mit einem asymptotischen Konvergenzfaktor C = 1 − 1/m.

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