By C. Stanley Ogilvy
ISBN-10: 3322843610
ISBN-13: 9783322843616
ISBN-10: 3528283149
ISBN-13: 9783528283148
Was once ist Geometrie? Eine junge Dame, so gefragt, antwortet ohne Zögern: "Oh, das ist das, wo etwas bewiesen wird." Gedrängt, ein Beispiel flir so ein zu beweisendes Etwas zu geben, mußte sie passen. Auch conflict ihr entgangen, warum es eine gute Sache struggle, etwas zu beweisen. Die Reaktion der Dame ist typisch für viele Menschen, die meinen, auf der Schule Geometrie gelernt zu haben. Sie vergessen alle die Hauptsache und ver gegenwärtigen sich nicht, warum dieser Stoff durchgenommen worden ist. Das Vergessen der Sätze ist keine Tragödie. Wir vergessen vieles von dem, used to be wir während unserer Schulzeit lernten - oder sollte ich sagen, used to be uns dort begegnete? Nichtsdesto weniger ist es bedauerlich, wenn ein ganzer Unterricht so langweilig ist, daß es nicht gelingt, irgendetwas daraus in dem Gedächtnis der Schüler einzuprägen. Zugegeben, die traditionelle Geometrie struggle selbst an diesem Mangel schuld (und ist es noch). Und warum wurde sie gelehrt? Weil guy meinte, dem jungen Menschen ein einheitliches logisches procedure auf einem ihm gemäßen Niveau bieten zu müssen. Vermutlich erreichten einige Schüler das gewünschte Ziel, aber viele andere wurden so durch die Einzelheiten abge lenkt, daß sie den Blick für die Hauptsache verloren.
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In Bild 63 wird das Dreieck ABC der Ebene ~ in das Dreieck A'B'C' der Ebene ~' projiziert; 0 heiBt das Projektionszentrum. Die beiden Ebenen sind nicht notwendigerweise parallel, so daB im allgemeinen das Bild einer Figur dem Urbild nicht ahnlich ist. Die Transformation in Kapitel 3, die Inversion, bildet die Ebene auf sich selbst abo Es besteht nun kein Grund, unser Prinzip "Transformiere, lose, transformiere zuriick"nicht auch zu benutzen, wenn die Transformation eine Ebene auf eine andere abbildet, solange nur die Transformation eineindeutig und umkehrbar ist.
Am anschaulichsten ist es, wenn man A und B sehr viel gr6ger als e wahlt. Dann entsteht eine H6hlung zwischen den drei sich beriihrenden Kugeln. Die sechs Kugeln umgiirten e und winden sich durch die H6hlung hindurch. Der Beweis der 5echskugeleigenschaft ist bemerkenswert einfach. Wir invertieren die Figur aus den vier sich beriihrenden Kugeln A, B, e und 5, in bezug auf den Beriihrpunkt von A und B. Dann gehen A und B in parallele Ebenen iiber (siehe das Apollonios-Problem) und das Bild von e ist eine Kugel e', die zwischen den beiden Ebenen liegt und beide beriihrt.
Zu subtrahieren. Damit ist unsere Ausgangsfrage beantwortet. Ein Dreieck geht durch Inversion in ein Kurvendreieck Uber, dessen 5eiten Kreisbogen sind und dessen Winkel entgegengesetzt gleich denen des Dreiecks sind. 4. 9) zurUck, in dem die harmonische Teilung einer 5trecke durch zwei Punkte geschildert ist. Wir konnen darin die Richtung der Teilstrecken berUcksich24 tigen, indem wir von links nach rechts laufende Strecken positiv, von rechts nach links laufende Strecken negativ messen. Das Negative von CB ist danach BC.
Unterhaltsame Geometrie by C. Stanley Ogilvy
by John
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