By Prof. Dr. Josef Stoer, Prof. Dr. Roland Bulirsch (auth.)
ISBN-10: 3540514821
ISBN-13: 9783540514824
ISBN-10: 3662222507
ISBN-13: 9783662222508
Dieses zweib?ndige Standardlehrbuch bietet einen umfassenden und aktuellen ?berblick ?ber die Numerische Mathematik. Dabei wird besonderer Wert auf solche Vorgehensweisen und Methoden gelegt, die sich durch gro?e Wirksamkeit auszeichnen. Ihr praktischer Nutzen, aber auch die Grenzen ihrer Anwendung werden vergleichend diskutiert. Zahlreiche Beispiele runden dieses unentbehrliche Buch ab.
Die Neuauflage des zweiten Bandes wurde vollst?ndig ?berarbeitet und erg?nzt um eine Beschreibung weiterer Techniken im Rahmen der Mehrzielmethode zur L?sung von Randwertproblemen f?r Gew?hnliche Differentialgleichungen.
"Das Lehrbuch ... setzt Ma?st?be f?r eine Numerik-Vorlesung und ist jedem Studenten der angewandten Mathematik zu empfehlen."
Die Neue Hochschule
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Hnliche Verhältnisse wie in diesem Beispiel liegen im allgemeinen vor, wenn zu dem betrachteten Eigenwert nichtlineare Elementarteiler gehören. Sei etwa Aj ein Eigenwert von A, zu dem es Elementarteiler von höchstens k-tem Grade (k = Tj, s. 11») gibt. Durch ein numerisch stabiles Verfahren kann man dann im allgemeinen (s. 11») nur einen Näherungswert A mit dem Fehler I;, - A;I = O(eps l/k) erhalten (wir setzen der Einfachheit halber lub (A) = 1 voraus). Sei nun Xo, Xl' ... , Xk-l eine Kette von Hauptvektoren (s.
A. Al X. + ... + PrXr' ... 6) ,v+ 1) lim -}-'- = 11 , i-co (i) "h wobei IX =F 0 eine Normierungskonstante ist. Unter den angegebenen Voraussetzungen liefert das Verfahren also sowohl den betragsgrößten Eigenwert 11 von A als auch einen zu 11 gehörigen Eigenvektor, nämlich den Vektor z = = IX(P1X1 + ... + p,x,), und wir sagen "die Vektoriteration konvergiert gegen 11 und einen zugehörigen Eigenvektor". Man beachte, daß für r = 1 (li ist einfacher Eigenwert), der Grenzvektor z unabhängig von der Wahl von t o ist (sofern nur PI =F 0 ist).
I +0 (j = i + 2, ... , n) sonst die Matrix Gi + l und subtrahiert in der Matrix A' für j = i + 2, i + 3, ... i + I-fache der Spalte j zur Spalte i + 1. Als Resultat erhält man die Matrix Ai = Gi+\A'G i + 1 = I;-IAi_II;, 41 die die verlangte Gestalt hat. J , (s. 2») von Ai - I sich nicht ändern. - 2 • Algol-Programme rur diesen Algorithmus findet man in Martin, Wilkinson [9], Fortran-Programme in Smith et al. [38]. Die Gutartigkeit dieser Methode kann auf folgende Weise untersucht werden: Seien Ai und '1; diejenigen Matrizen, die man bei Gleitpunktrechnung im Laufe des Algorithmus statt der A;, T; tatsächlich erhält.
Numerische Mathematik 2: Eine Einführung — unter Berücksichtigung von Vorlesungen von F.L. Bauer by Prof. Dr. Josef Stoer, Prof. Dr. Roland Bulirsch (auth.)
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4.0