By Prof. Dr. rer. nat. Christian Großmann, Prof. Dr. rer. nat. Johannes Terno (auth.)
ISBN-10: 3322931102
ISBN-13: 9783322931108
ISBN-10: 3519020904
ISBN-13: 9783519020905
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9 Es sei die Funktion f: IR" -t IR definiert durch 1 f(x) := 2xTAx - cTx mit einer positiv definiten Matrix A. Man zeige, daß für beliebige abgeschlossene, nichtleere Mengen G C IR" und Q c IR" die Optimierungsprobleme f(x)-t minI beixEG und f(x)-t minI beixEQ eine eindeutige Lösung xG bzw. xQ besitzen. Man schätze IIxG - xQ 11 mit Hilfe des Hausdorff-Abstandes d(G,Q) := max{sup inf IIz - xII, sup inf IIx - zll} :oeG zeQ zeQ :oeG ab. 3 Anwendungen der Dualität und spezielle Optimierungsaufgaben Die Bedeutung der Dualität in der Optimierung besteht, wie auch in den voranstehenden beiden Abschnitten skizziert wurde, vor allem in: • der Gewinnung von Schranken für den optimalen Wert des Optimierungsproblemsj • der Konstruktion spezieller Relaxationen für das Ausgangsproblemj • der Zuordnung einfacher zu lösender dualer Aufgaben und in der Behandlung dieser anstelle des Ausgangsproblemsj • der Gewinnung von Lösbarkeitsaussagen, insbesondere für lineare Optimierungsaufgabenj 2.
26) 2. Dualität 56 Wir untersuchen im weiteren auch allgemeinere Störungen des Ausgangsproblems (24). h. (x,w) :::; 0, i min! = l(l)m, (27) mit vorgegebenen Funktionen f, g. ' X W -+ IR zugrunde. Für jeden fixierten Parametervektor w E W besitzt diese Aufgabe die Form (24). =1 definiert. tz werden hinreichende Bedingungen dafür angegeben, daß ein isoliertes lokales Minimum x( w) von (27) stetig vom Störungsparameter w abhängt. , i = l(l)m, auf U(x) x U(iii) zweimal stetig partiell nach den Variablen Xi, j l(l)n, differenzierbar sind.
Die Menge der aktiven Indizes ändert sich also für hinreichend kleine Störungen nicht. Den restlichen Beweis führen wir indirekt. Falls keine Umgebung V(üi) derart existiert, daß x(w) für w E V(w) den hinreichenden Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung genügt, dann gibt es eine Folge {w"} mit w" --+ üi und zugehörigen x" = x(w"), y" = y(w") mit x" --+ x, y" --+ y sowie z" E IR:' mit IIz"lI = 1, daß V'",9;(x",w"fz" = 0, i E Io(x,üi), z"T V;",L( x", y", w")z" :5 (39) o. A. kann angenommen werden, daß der stetigen Differenzierbarkeit hat man z" --+ z mit einem z gilt.
Numerik der Optimierung by Prof. Dr. rer. nat. Christian Großmann, Prof. Dr. rer. nat. Johannes Terno (auth.)
by James
4.5