By Sherman K. Stein (auth.)
ISBN-10: 3322850366
ISBN-13: 9783322850362
ISBN-10: 3528074248
ISBN-13: 9783528074241
Die Bearbeitung der Mathematikbände erfolgte durch die Professoren Erhardt-Ferron und Walter an der FH Offenburg.
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Nun kann der Grenzwert --- 1 Diese. Abschnitt ha t die Masse G (xl x+Ax x als die Masse in dem klein en Fiir x ~ =f(X). 0 folgt f(X) ~ f(x) und wir erhalten wieder G'(x)=f(x). Beispiel2: f sei stetig. Man bestimme leicht berechnet werden. Wir erhalten lim x-o ~G = lim "'-loX x-o b f(X). x Iiegt, folgt sofort lim 4X-O f(X) =f(x) . Daher ist G differenzierbar und es gil t G' =f. Istf(x) flie alle x aus [a; b J positiv, so gibt G(x) die Flache unter der Kurve y =f(t) von a bis x. dx Mit anderen Worten : Das bestimmte Integral ist nun im Hinblkk auf die untere Grenze des Integrationsbereiches zu differenzieren .
Lund g seien in einem offenen Intervall definiert. Sie nehmen nur positive Werte an, sind differenzierbar und besitzen eine zweite Ableitung. Sei F(x) = In/(x) und sei G(x) = Ing(x). (a) Wenn F konkav ist, mul> dann I konkav sein? (b) Wenn I konkav ist, mul> dann F konkav sein? (e) Wenn lund g konkav sind, mul> dann 1+ g konkav sein? (d) Wenn lund g konkav sind, mul> Ig ebenfaHs konkav sein? (e) Wenn F und G konkav sind, mul> dann Inlg konkav sein? if) Wenn Fund G konkav sind, mul> dann In if + g) konkav sein?
Lin dx = 1. 3 I (b) FUr ansteigende n steigt (1 + I/n)n. Man beweise dies mit Hilfe der Kurve y= I/x l - l/n . S Wie wir in Kapitel 7 gesehen haben, gilt x 2 dx = 9 und daher o 21. Sei m eine positive ganze ZahI. (1-l/m)m (0) Manzeige f xl;l/m dx= 1. I Fiir steigende m beweise man, da1\ (1- I/m)-m fallt. (c) Man zeige fUr jedes Paar von positiven ganzen Zahlen m und n Defmition des Integrals von a bis a: (b) (I+~r «I-~rm. Obrigens zeigen die Obungen 10 bis 13 aus Bel. l/Kp. 2, da1\ die beiden Seiten dieser Ungleichung fUr n'" ~ und m ...
Einführungskurs Höhere Mathematik II: Bestimmte Integrale Hauptsätze der Infinitesimalrechnung by Sherman K. Stein (auth.)
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4.0