Dualität Iokalkompakter Gruppen by Herbert Heyer (auth.) PDF

I f(x)~(dx) G eine beschr~nkte hermitesche Form auf ~ , Die Beschr~nktheit folgt aus der Absch~tzung: G xcG Es existiert also ein Operator qT (f) a u f ~ mit (a) II "~ (f) l[ <= I[ f ]I1 und - (b) = 50 - ~ f(x) ~(dx) f~r alle ~ , ~ e ~ .

Ein Teilraum ~ i von~ heisst ~-invariant,falls1[ ( A ~ 1 c ~ 1 8. M i t ~ 1 sind a u C h ~ l ~ U n d 9. ~ I ist ~ - i n v a r i a n t genau dann, wenn der Projektor P a u f ~ mit allen q~(x) Der ~ i q[-invariant. 1 (x~A) vertauschbar ist. B e w e i s ergibt sich analog zu ~ 1. Die direkte Summe q[ = ~ [ i~I einer Familie (qVi)i¢i von Dar- stellungen einer involutiven Algebra A definiert man wie in ~ i. iO. In diesem Fall sind die D a r s t e l l u n g s r ~ u m e ~ i : = ~ (q~i) yon q~i (i~I) ~[-invariante Teilr~ume v o n ~ : = ~)~i" i~I ii.

_J iEI D e f i n i t i o n: Zwei Darstellungen DarstellungsrMumen~ undO' D ~ D ' , falls ein unit~rer D und D' yon G mit bzw. heissen ~ q u i v a l e n t i n Operator T v o n ~ auf~ Zeichen ' existiert, so dass f~r alle x ¢ G gilt: D' (x) = T D(x) T -I. 10: stellungen ~ ~quivalent sind. ~¢ ~' ) )6(~)~ Es seien D bzw. D' und ~ b z w . ~ ' assoziierte Dar- yon G u n d ~ 1. Dann sind D und D' g e n a u dann ~quivalent, wenn~und~' ~quivalent B e w e i s: Ergibt sind. 7. h. falls D(x) D yon G heisst treu, = E=Identit~tsoperator falls nur f~r x = e gilt.

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